Вы решили эту задачу? Сможете ли вы соперничать с самым умным подростком в мире?

Ранее сегодня я предложил вам следующую головоломку, предложенную британцем Алексом Чуи, самым успешным кандидатом в истории Международной математической олимпиады. В прошлом месяце Алекс, ученик школы Тонбридж в Кенте, стал первым человеком, который выиграл медаль на олимпиаде семь лет подряд. Браво!

Головоломка от Алекса

Сколько существует способов заполнить сетку 3×3 положительными целыми числами так, чтобы произведение чисел в каждой строчке и каждом столбце было равно 30? В каждой из девяти клеток сетки находится целое число. Если перемножить три числа в каждой строке и в каждом столбце, получится 30. Три числа в каждой строке или столбце не обязательно должны быть разными.

Алекс сказал: «Мне нравится эта головоломка, потому что ключевая идея — посмотреть на простые множители чисел и понять, что расположение каждого простого множителя (2, 3, 5) можно рассматривать независимо. Это чистое разделение на части — один из моих любимых аспектов в математике».

Анализ задачи

Первое, что нужно заметить: 30 = 2 × 3 × 5. Следовательно, в каждой строке и каждом столбце должен присутствовать множитель 2, множитель 3 и множитель 5.

Существует шесть способов расположить по одной двойке в каждой строке и каждом столбце. (3 способа выбрать 2 в первой строке, 2 способа выбрать 2 во второй строке в другом столбце и 1 способ выбрать последнюю 2 в третьей строке, итого 3 × 2 × 1 = 6). Вот они:

Аналогично существует 6 способов выбрать расположение троек и 6 способов выбрать расположение пятерок. Каждая полная сетка — это уникальное сочетание расположений двоек, троек и пятерок. Поэтому существует 6 × 6 × 6 = 216 способов заполнить сетку.

Например, вот один способ объединить двойки, тройки и пятерки. Эти расположения дают полную таблицу ниже, которая строится путем помещения каждого множителя в соответствующую клетку. Если в клетке больше одного множителя, их перемножают, а если множителей нет, ставят 1.

Таким образом, существует 216 способов так комбинировать 2, 3 и 5. Надеюсь, вам понравилась сегодняшняя головоломка. Спасибо Алексу и удачи вам в математике!